تبلیغات
بزرگترین گروه ریاضی

LOGO


 

ریشه یابی معادلات روشهای یافتن ریشه های یک معادله ( The roots of an equation ) یعنی نقاط تلاقی نمودار آن معادله با محورهای مختصات میباشد. به طور معمول از آن جا که توابع را در حالت استاندارد y نسبت به x تعریف میکنند، ریشه های یک معادله را نقاط برخورد معادله با محور xها در نظر میگیرند.

برای مثال ریشه های 
معادله ی فرضی 
a7e5799eb2515eb20dc8300d9f38ee60

نسبت به محور xها در واقع مجموعه ای از نقاط اشتراک نمودار 
معادله با محور xها میباشد و چون آن نقاط بر روی محور xها واقع میباشند یعنی دارای عرض صفر هستند، بدین منظور باید مقدار x را در معادله ای که عرض ( y ) آن صفر است درآوریم

حل معادله درجهٔ اول

برای پیدا کردن ریشههای x یک معادله ی درجه اول باید مقدار x را از حالت کلی معادلات درجه اول به دست آوریم. حالت کلی معادلات درجهٔ اول برابر c4caf9fbaebe9ae433b67dd3462e5da0 میباشد که در آن 89f771207ffb39300acb88dff8bae241عرض اصلی ، f7b4a9a272539da17df482a540896746 عرض اولیه ، m شیب نمودار و x متغیر طول نمودار میباشد، همچنین در اکثر منابع شکل اصلی معادلات درجهٔ اول به صورت 7a5f55bad0803c78a07ccc389e2eb2a9 نمایش داده میشود که در آن h همان عرض اولیه است که به اختصار از کلمهٔ height استفاده میشود
روش حل معادلات درجهٔ اول بدین گونه است :

چون می خواهیم نقاط تلاقی نمودار با محور xها را پیدا کنیم عرض آن ( y ) را برابر صفر قرار می دهیم و داریم :
597be0121612bb03f5d32432682b0f8e


با حل معادله ی فوق به ترتیب زیر مقدار x را بدست می آوریم :


41dc0f0dfbfc1feff1de6cf6973885ed

6e7635d7fabf6e2c1f6a6d90e7f4453d

و می بینیم که مقدار x همواره برابر است با حاصل تقسیم عرض از مبداً معادله بر شیب آن. بنابراین هنگامی که عرض از مبداً معادله صفر باشد ریشهٔ معادله نیز صفر است و نمودار معادله از مبداً مختصات خواهد گذشت.

حل معادلات درجهٔ دوم 

همانند حل معادلات درجهٔ اول برای پیدا کردن نقاط تقاطع معادله با محور xها صورت کلی معادلات درجه دوم را نوشته و عرض آن ( y ) را برابر صفر قرار می دهیم، پس داریم :

0c4913db725b72609d4825124dda12aa

با حل معادله ی فوق مقادیر x را بدست می آوریم، توجه کنید که a برابر با صفر نمیتواند باشد چون در این صورت معادله از نوع درجه اول میشود. پس با شر
ط a≠0 معادله را حل می کنیم :

94ef9a10c17699b7f7bfd3003dca58ab

اگر ضرب چند عبارت برابر با صفر باشد پس حداقل یکی از آنها صفر است، از آنجا که a بنا بر شرط اولیه نمیتواند صفر باشد پس عبارت داخل پرانتر صفر میباشد، پس داریم :

565ef9e8ab1deb79252b0a22d5dc25c9

برای حل معادله آن را تبدیل به مربع کامل می کنیم :


4442cd5ad37e6d48ef9e6bbd5a9521b2


1dcb5bf6cf53b5f0a5d88294191124ff


494b816bd5b974fb53fdffa1498929b0


d9ebee8df2916070c3d0ffa91a105db2

حالا از طرفین معادله جذر می گیریم تا مقدار x را درآوریم :


5397a1ebcbd09dadc764ffd89233c8a7

3c0b41fc3a7bac7745406b0a4f82538f


9fc5b48283386d734496d00625002018

در نتیجه معادله دارای 2 ریشهٔ زیر میباشد:

36cca3f82805e94a43f9db7785af3fc6


b29ff214bfe92a3eb216beca961a82ef

معمولاً عبارت 450f33a677f74a27a4d1ebc7295b72df را برابر با حرف دلتای بزرگ 659d23f0ed16cdb87b1d41c7b58b52f4 نمایش میدهند، دلتا در ریاضیات نماد فاصله یا تغییرات است.

طبق قضیهٔ تثلیث دلتا میتواند مقادیر زیر را اختیار کند :
1 - 23114ae935ac52c2fcf8bd7aff30b936 که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه مثبت است، پس معادله دو ریشهٔ مختلف دارد
2 - bdbbdd50f07e9fa49eb834e048576756 که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه صفر است، پس هر دو جواب معادله یکی هستند و معادله اصطلاحاً ریشهٔ مضاعف دارد
3 - fad8e0c6904c7c0d09150c54207dbf06 که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه عددی منفی است و همانطور که می دانید فاصله عددی منفی نمیتواند باشد، از سوی دیگر از آنجا که 659d23f0ed16cdb87b1d41c7b58b52f4 در زیر رادیکالی با فرجهٔ زوج است تنها میتواند مقادیر بزرگتر یا مساوی صفر را اختیار کند.


حالتهای خاص و نکات معادلات درجهٔ دوم 

در معادلهٔ کلی 0c4913db725b72609d4825124dda12aa، اگر :

1 - c=0 باشد : یک ریشه صفر و دیگری برابر با 2362675730d6c2b37a0d376c6987bce5 است.

اثبات ( 
شرط : a≠0 و c=0 ) :

ba5163ac7e9e7c611814fe262f714b4c


7294cd9ee9b899a78d3c209fa9dc08ca


da421926e20b5009c3d6e2e80e4f2f3b


77a0dd42690744b7b787c8571811c2c9
2 - جمع 3 ضریب ( a,b,c ) برابر صفر باشد : یک ریشه +1 و دیگری d985de59d7ad93a3ce78b9aa402a4b8c خواهد بود

اثبات ( شرط : a≠0 و a+b+c=0 ) :


9fc5b48283386d734496d00625002018

طبق فرض : a+b+c = 0 پس : a+c = -b

521b0083eab3d6fe242051525787aee6

بد نیست که در باره ای ریشه مضاعف بشتر بدانیم: از نظر جبری ریشه مضاعف ریشه ای است که زوج بار عبارت را صفر کند و ریشه ساده ریشه ای است که فرد بار یک عبارت را صفر کند ((البته در معادلاتی نظیر 2^(x-1) همین تعریف کافی است ولی در دو طرف ریشه ساده علامت تابع فرق می کند ولی در دو طرف 
ریشه مضاعف علامت تابع یکسان است از نظر هندسی اگر بر محور طول ها طوری مماس شود که دو طرف نقطه در یک طرف محور طول ها بیفتد ریشه مضاعف داریم این نکته را فراموش نکنید که اگر رشه معادلات درجه دو مضاعف باشد آن معادله مربع کامل است

b104c9226d983a45540dc88400e87be0

c74f879491ec45562d7123f9dcdee22d


e9cf2e1406989a5dd881b383c58fbd2a


a1370b7d96181cd985cf267b6d212d32


079751d3363f992366c50360e538ba9a


e9a2f64a7c31278b955d8fa52801548a

3 - a-b+c = 0 : یک
ریشه -1 و دیگری 59835d0a23652bbeb741cfb597aa0e58 خواهد بود

اثبات ( شرط : a≠0 و a-b+c=0 ) :


همانند روش بالا اثبات خواهد شد


4 - اگر دلتای ریشههای یک معادله برابر صفر باشد معادله تنها دارای یک جواب ( ریشه مضاعف ) 6b497104d32002ceea522f734429941e خواهد بود.
اثبات ( شرط : a≠0 و bdbbdd50f07e9fa49eb834e048576756 )

4239da10216dd7fe15a93b7b9c68a244


4f21dcadc18610bb11efb0d4d96093b3


24b0d1ea1ae07eaa82b29be1f42054b8
نکته : همانطور که می دانید در صورتی که معادله دارای یک ریشه باشد یعنی تنها یک نقطهٔ تماس با محور xها دارد، در این صورت آن نقطه 
تنها میتواند نقطهٔ مینیمم یا ماکسیمم باشد، پس داریم :


0c4913db725b72609d4825124dda12aa
با گرفتن مشتق داریم :

8c796c1d06aead3fa973b0104fb8e3bc

0d88ebb32383f62cde097c86d38691a5


24b0d1ea1ae07eaa82b29be1f42054b8
همچنین جالب است بدانید مجموع دو ریشه در معادلهٔ درجه دوم 2362675730d6c2b37a0d376c6987bce5 است . ضمن اینکه ضرب دو ریشهٔ معادلهٔ درجه دوم از رابطهٔ d985de59d7ad93a3ce78b9aa402a4b8c به 

دست می آید.

حدس زدن حدود ریشهها 

از روی تغییر علامت تابع 

حدود ریشههای یک معادله را میتوان با چک کردن مقادیر مختلف در آن بدست آورد، اگر :


1 - اگر تابع در بازهٔ (a,b) پیوسته باشد. 2 - اگر به ازای دادن دو مقدار f9a3b8e9e501458e8face47cae8826de و 8f43fce8dbdf3c4f8d0ac91f0de1d43d، جواب از مثبت به منفی یا از منفی به مثبت تغییر علامت داد، آن گاه حداقل یک جواب بین f9a3b8e9e501458e8face47cae8826de و 8f43fce8dbdf3c4f8d0ac91f0de1d43d برای این معادله وجود دارد، بدیهی است که اگر با دادن مقداری جواب 
صفر گردد همانطور که قبلاً گفته شد آن مقدار ریشهٔ معادله است.

استدلال روش و مثال 

فرض کنیم که تابع f با ظابطهٔ 82339e4f300ce91d08a897b5c49547b2( این معادله از معادلات بسیار معروفی است که با این روش ریشهٔ دیگر آن بین (0,-1) حدس زده میشود ) است و می دانیم که نمودار این تابع در بازهٔ [0,-1] پیوسته میباشد، در این صورت اگر معادله تغییر علامت دهد ( از مثبت، منفی یا از منفی مثبت شود ) یعنی روی محور عرضها از yهای منفی به yهای مثبت یا از yهای مثبت به yهای منفی رفته است و چون پیوسته است پس حتماً در این بین از y=0 نیز گذشته است پس در این بین ریشه دارد.

حال برای پیدا کردن حدود ریشههایش شروع به مقدار دهی می کنیم:

4069e1e77cf4cba9b1afb22a6e73550f

f16e2590fff1075eca1e0ebd52624999


d3ab554de21c36ec4ff94d517d4cdd39


e036b4423d662ea603972f2b5ce57ff4
همانطور که می بینید تابع به ازای (f(-1 مثبت بوده و به ازای (f(0 منفی شده است، پس در این بین تغییر علامت داده و ریشه دارد .

با تکرار این روش میتوانیم به ریشهٔ معادله نزدیک و نزدیک تر شویم.


برچسب ها : یافتن ریشه معادلات , معادلات چندجمله ای , معادله درجه دوم , معادله درجه اول , یافتن ریشه , اموزش , اموزشی ,اموزش ریاضی , بزرگترین گروه ریاضی , گروه ریاضی , ریاضی , ریاضیات , تابع , دلتا , ریاضی2 , ریاضی3 , ریاضی1 , ریاضی فیزیک ,اموزش کامل , اموزش کامل پیداکردن ریشه معادلات چند جمله ای , آموزش کامل یافتن ریشه معادلات درجه اول و درجه دوم , معادلات ,حسابان , هندسه , مقاله اموزشی , مقاله , دانلود , ریشه معادله , شیب , شیب نمودار , آموزش کامل مفاهیم ریاضی , در بزرگترین گروه ریاضی , نکات مهم ریشه یابی , قضیه , قضیه تثلیث دلتا , حالت های خاص , حالتهای خاص و نکات معادلات درجهٔ دوم , معادلات چند جمله ای , دلتا در ریاضیات , محور های مختصات , حسابان جدید , اموزش ریاضی2 , نمونه سوالات امتحانی , 

آرشیو ماهانه

نظر سنجی

کدام یک از موضوعات مطالب بیشتر برای شما مفید است ؟


آمار بازید

کل بازدید ها :
بازدید امروز :
بازدید دیروز :
بازدید این ماه :
بازدید ماه قبل :
تعداد نویسندگان :
تعداد کل مطالب :
آخرین بروز رسانی :

درباره ما


معلم ریاضی کسی است که بتواند فکر خود را به فراگیران منتقل کند

ایجاد کننده وبلاگ : مولوی

| لوگوی دوستان |

math خونه

باشگاه معلمان جوان ایران

| تبلیغات | ........ ........ ........

 
http://up.rstp.ir/images/70584493750950679405.gif