تبلیغات
بزرگترین گروه ریاضی

LOGO

 
آموزش روشهای انتگرال گیری


2- روش جانشانی یا تغییرمتغیر

معمولا این روش برای محاسبه انتگراهای ضرب دوتابع بکار می رود ،دو تابعی که هر کدام از جنس مختلفی می باشد ،مثلا ضرب یک چند جمله ای در یک تابع مثلثاتی و …چند نمونه از این حالتها را در زیر مشاهده کنید:

 

  \[\begin{array}{l}  \int {x\sin xdx}  \\  \int {x{e^x}} dx \\  \int {{e^{2x}}} \cos xdx \\  \end{array}\]

 

در این روش که مبتنی بر ضرب دوتابع است ،ما با استفاده از ((قاعده مشتقگیری ضرب دوتابع )) انتگرال را بدست می آوریم .پس همانطور که از بخش مشتق می دانیم ضرب دو تابع و عمل مشتق گیری آنها بصورت زیر است :

 

  \[(uv)' = uv' + u'v\]

حالا اگر از معادله فوق بخواهیم انتگرال بگیریم بصورت زیر خوهد بود

  \[\begin{array}{l}  \int {} (uv)' = \int {uv'dx + \int {u'vdx} }  \\  uv = \int {uv'dx + \int {u'vdx} }  \\  \int {uv'dx = uv - \int {u'vdx} }  \\  \int {udv = uv - \int {vdu} }  \\  \end{array}\]

 

پس نتیجه می گیریم که فرم کلی انتگرال گیری جزء به جزء بصورت زیر خواهد بود :

 

  \[\begin{array}{l}    \int {udv = uv - \int {vdu} }  \\  \end{array}\]

مثال ۱:انتگرال زیر را حساب کنید

\int x\sin2xdx

ببینید برای حل انتگرال ها شما با این سوال مواجه می شوید که کدام تابع فوق را v و کدام را معادل u قرار دهیم ما اینجا قانون ثابتی نداریم . اما یک قانون کلی داریم u  را معمولا برابر تابعی قرار می دهیم که dx ما براحتی با du  جایگزین شود و محاسبه انتگرال ما هم ساده تر بشود علاوه بر این محاسبه انتگرال تابع v  هم ساده شود . پس در واقع  به انتخاب شما و ابتکار شما نیاز دارد که تشخیص دهید چگونه توابع را جایگزین کنید.

اکنون سعی می کنیم قدم به قدم مثال بالا را حل کنیم :

قدم اول : تشخیص تابع u  و تابع دیگر به همراه dx  که برابر با dv  خواهد بود .

 u=x \Rightarrow du=dx

 dv = \sin 2xdx

قدم دوم : از u  دیفرانسیل می گیریم تا du  بدست آید و از dv  انتگرال می گیریم تا v  بدست آوریم .

 u=x \Rightarrow du=dx

 dv = \sin 2xdx \Rightarrow v = \int {\sin 2xdx = }  - \cos 2x

قدم سوم : عبارتهای فوق را در فرمول انتگرال گیری جزء به جزء قرار می دهیم و حاصل انتگرال را بدست می آوریم :

انتگرال جزء به جزء

  =\frac{-x\cos 2x}{2}+\frac{1}{2}\int \cos 2xdx \\=\frac{-x\cos 2x}{2}+\frac{1}{2}\left ( \frac{sin2x}{2} \right )+k \\=\frac{-x\cos 2x}{2}+\left ( \frac{sin2x}{4} \right )+k


برای مشاهده اموزش انتگرال گیری به روش تغییرمتغیر به ادامه مطلب مراجعه کنید




2-روش انتگرال گیری جانشانی یا تغییر متغیر


هر گاه در انتگرال با عبارتی مواجه شدیم که بصورت یک تابع مرکب و یک مشتق از پارامتر آن باشد ،می توان از این روش استفاده کرد .بصورت زیر:

انتگرال گیری جانشانی

از عبارت بالا این را می فهمیم که در این روش  تابع f(x) اینجا همان تابعی خواهد بود که باید از آن مشتق گرفته شود و اما تابع g(x)

تابعی است که بصورت پارامتر تابع f(x) و علاوه براین مشتق تابع g(x) هم وجود دارد پس آنچه باید تغییر پیدا کند همان تابع g(x)  است .مثال پایین را ببینید :

انتگرال جانشانی

ببینید در مثال بالا تابع f(x)=cos و تابع g(x) برابر است با x^2 که مشتق آن برابر با 2x می باشد

پس الان فهمیدم که چگونه این توابع تفکیک می شوند و چه ارتباطی با هم دارند پس حالت کلی انتگرال بصورت زیر خواهد شد:

انتگرال جانشانی

الان مثال بالا را با همان روش انتگرال جانشانی حل می کنیم تا مطلب را بهتر متوجه شویم :

انتگرال جانشانی

\int \cos u du=\sin u+c

و چون u=x^2 پس خواهیم داشت که :

 \sin (x^2) +c

اکنون که روش انتگرال گیری جانشانی و مفهوم آن را فرا گرفتیم برای فهم بهتر مطلب دو مثال را با هم حل می کنیم تا بهتر متوجه مطلب بشوید

مثال ۱: انتگرال   \int \frac{x}{x^2+1}dxرا محاسبه کنید .

ببینید نکته ای که در این انتگرال وجود دارد این است که شما همیشه همان حالت کلی را نخواهید داشت ، یعنی حتما تابع و مشتق آن مشخص نیست بلکه ممکن است نیاز باشد در عددی ضرب یا تقسیم و یا کمی تغییرات ایجاد کنید تا همان فرم روش جانشانی حاصل شود مثلا در این مثال باید انتگرال را بصورت زیر تبدیل کنیم :

 \int \frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}dx

پس با روش جانشانی بصورت زیر خواهد بود

انتگرال جانشانی

  u=x^2+1\Rightarrow du=2xdx

  \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}du=\frac{1}{2}\ln u+c

    \frac{1}{2}\ln (x^2+1)+c

مثال ۲ : انتگرال  \int (x+1)^3dx  را بدست آورید.

\int (x+1)^3dx=\int (x+1)^3 \times  1 dx

انتگرال جانشانی

u=x+1

\int (u)^3du=\frac{u^4}{4}+c

\frac{(x+1)^4}{4}+c

منبع:MATH2EASY.COM



برچسب ها : اموزشاموزش ریاضیگروه ریاضیبزگترین گروه ریاضیگروه ریاضیاتاموزش انتگرالروشهای انتگرال گیری , بزرگترین گروه ریاضی , اموزش انتگرال گیری , اموزش ریاضی , آموزش روشهای انتگرال گیری(جزبه جزوتغییرمتغیر) ,

آرشیو ماهانه

نظر سنجی

کدام یک از موضوعات مطالب بیشتر برای شما مفید است ؟


آمار بازید

کل بازدید ها :
بازدید امروز :
بازدید دیروز :
بازدید این ماه :
بازدید ماه قبل :
تعداد نویسندگان :
تعداد کل مطالب :
آخرین بروز رسانی :

درباره ما


معلم ریاضی کسی است که بتواند فکر خود را به فراگیران منتقل کند

ایجاد کننده وبلاگ : مولوی

| لوگوی دوستان |

math خونه

باشگاه معلمان جوان ایران

| تبلیغات | ........ ........ ........

 
http://up.rstp.ir/images/70584493750950679405.gif