تبلیغات
بزرگترین گروه ریاضی

LOGO

 
 

وساط اضلاع یک مربع به ضلع a را به هم وصل می کنیم

تا مربع جدیدی حاصل شود.

 سپس اوساط اضلاع مربع جدید را به هم وصل می کنیم تا مربع دیگری حاصل شود.

عمل فوق را تا بی نهایت ادامه می دهیم.

 به نظر شما حاصل جمع مساحت این مربع ها را می توان حساب کرد؟

 حاصل جمع محیط این مربع ها را چطور؟

 


 


برای اینکه به این پرسش جواب دهیم ابتدا سری به مبحث تصاعدهای هندسی می زنیم!

 

تعریف: تصاعد هندسی رشته ای است که هر جمله آن

با ضرب کردن جمله پیش از آن در عددی ثابت مخالف با یک، به دست آید.

عدد ثابت مـذکور را قدر نسبت تصاعد هندسی می نامیم.

 و معمولاً آن را با q نمایش می دهیم.

... و 162 و 54 و 18 و 6 و 2

در این رشته پنج جمله ابتدایی تصاعد را می بینیم،

 برای به دست آوردن قدر نسبت کافی است

 هر جمله را بر جمله ماقبل خود تقسیم کنیم.

(هرعدد را بر عدد ماقبل خود تقسیم میکنیم).

و برای بدست آوردن مثلاً جمله هشتم، باید جمله هفتم را

 در قدر نسبت که در اینجا 3 است ضرب کنیم.

در تصاعدها جمله ابتدایی یا آغازین نیز دارای اهمیت بسزایی است

که آنرا با

 نشان می دهیم.

 

در بالا سعی کردیم که تمام جملات را بر حسب

فقط قدر نسبت و جمله اول بدست آوریم که بر حسب استقراء داریم:

مثلاً برای تصاعد نمونه ایی که در بالا مطرح شد داریم:

حال می خواهیم حاصل جمع جملات تصاعد هندسی را بدست آوریم.

 برای این منظور تصاعد هندسی متناهی را که دارای n جمله باشد، در نظر می گیریم

و جمله اول آن را

و جمله n ام آن را

و قدر نسبت آن را q می نامیم

و حاصل جمع را

  می نامیم.

دو طرف تساوی فوق را در q ضرب می کنیم.

برای مثال حاصل جمع ده جمله نخستین تصاعد نمونه ای

 که در صفحه قبل مطرح شده را به دست آورید.

اگر قدر نسبت q مابین 1 و 1- باشد،

می توان از

   به ازای مقادیر بسیار بزرگ n چشم پوشی کرد. 

پس فرمول فوق برابر

 می شود.


مسئله: مطلوب است محاسبه حاصل جمع زیر:

جواب:

* حال به مسئله اصلی خود برمی گردیم .

مربعی به ضلع a مفروض است،

اوساط آن را به هم وصل می کنیم،

 در مثلث قائم الزاویه AMN  با توجه به رابطه فیثاغورث می توان نوشت:

یعنی اگر طول ضلع مربع مادر a باشد.

یعنی اگر طول ضلع مربع مادر a باشد.

طول ضلع مربع درونـی با تقسیـم طول مربع مادر بر 2√ به دست می آید.

برای یافتن طول ضلع مربع درون،

 دوباره به همان شیوه فوق عمل می کنیم.

 یعنی رابطه فیثاغورث را می نویسیم.

( البته دانش آموزان تیزهوش دیگر نیاز به این کار ندارند،

 بلکه می گویند طول ضلع مربع درون هر مربع

طول ضلع مربع بیرونی است. )

یعنی طول اضلاع این مربع ها از قرار زیر است:

یعنی طول ضلع هر مربع برابر

در طول ضلع مربع بلاواسط بزرگتر از خود است

 که طول ضلع این مربع ها خود تشکیل یک تصاعد هندسی را می دهد.

اما مسئله از ما حاصل جمع مساحت ها

و حاصل جمع محیط های این مربع ها را خواسته است.

اگر مساحت مربع اول را با

 و محیط آن را با

نمایش دهیم داریم:

اگر مساحت و محیط مربع دوم را با

نمایش دهیم، داریم:

و همین طور الی آخر.

حال تصاعد مساحت ها را می نویسیم:

الآن می خواهیم که مساحت این مربع ها را با هم جمع کنیم.

در این تصاعد

است . درنتیجه:




برچسب ها : آموزش تصاعد هندسی , تا بی نهایت , مبحث تصاعد , تعریف: تصاعد هندسی , قدر نسبت , نسبت تصاعد , متناهی , مسئله: , مثلث قائم الزاویه , دانش آموزان تیزهوش , رابطه فیثاغورث , دانش آموزان , عمومی , فارسی , آموزشی , تحقیقات دانش آموزی , خواندنی های ریاضی ,
دنبالک ها : گروه ریاضی ,

آرشیو ماهانه

نظر سنجی

کدام یک از موضوعات مطالب بیشتر برای شما مفید است ؟


آمار بازید

کل بازدید ها :
بازدید امروز :
بازدید دیروز :
بازدید این ماه :
بازدید ماه قبل :
تعداد نویسندگان :
تعداد کل مطالب :
آخرین بروز رسانی :

درباره ما


معلم ریاضی کسی است که بتواند فکر خود را به فراگیران منتقل کند

ایجاد کننده وبلاگ : مولوی

| لوگوی دوستان |

math خونه

| تبلیغات | ........ ........ ........

 
http://up.rstp.ir/images/70584493750950679405.gif