ثبت سفارش ترجمه بزرگترین گروه ریاضی

LOGO

 
    استخوان های نپر


برای محاسبه با چرتكه مهره های آن را كه غالباً چوبی هستند به سمت بالا و پایین حركت می دهند. چرتكه برای جمع و تفریق تقریباً وسیله ساده ای است اما فقط افراد ماهر می توانستند از آن برای ضرب استفاده كنند و انجام عمل تقسیم هم با استفاده از آن بسیار مشكل بود! پس از آن بسیاری از مردم برای كمك به انجام اعمال ضرب و تقسیم روی دستگاه های محاسبه پیچیده با چرخ دنده ها كار می كردند تا اینكه



برچسب ها : استخوان های نپر , چرتكه , جمع و تفریق , فقط افراد ماهر , دانشمند , محاسبات تقریبی , پاسكال , دانشمند فرانسوی , سازوكار ابداعی , مخترع , عمومی , فارسی , آموزشی , تحقیقات دانش آموزی , تحقیقات دانشجویی ,
دنبالک ها : گروه ریاضی ,
 

عدد e پایه لگاریتم طبیعی

عدد e پایه لگاریتم طبیعی (~ 2.71828)، اولین بار توسط لئونارد اولر (Leonhard Euler 1707-83) یکی از باهوشترین ریاضی دانان تاریخ ریاضیات مورد استفاده قرار گرفت. 


در یکی از دست خطهای اولر که ظاهرا" بین سالهای 1727 و 1728 تهیه شده است با تیتر Meditation on experiments made recently on the firing of cannon اولر از عدی بنام e صحبت می کند. هر چند او رسما" این نماد را در سال 1736 در رساله ای بنام Euler's Mechanica معرفی میکند.


در واقع باید اعتراف کرد که اولر کاشف یا مخترع عدد e نبوده است بلکه سالها قبل فردی بنام جان ناپیر (John Napier 1550-1617) در اسکاتلند هنگامی که روی لگاریتم بررسی می کرده است بحث مربوط به پایه طبیعی لگاریتم را به میان کشیده است. فراموش نکنید که شواهد نشان میدهد حتی در قرن هشتم میلادی هندی ها با محاسبات مربوط به لگاریتم آشنایی داشته اند.


در اینکه چرا عدد ~ 2.71828 بصورت e توسط اولر نمایش داده شده است صحبت های بسیاری است. برخی e را اختصار exponential می دانند، برخی آنرا ابتدای اسم اولر (Euler) می دانند و برخی نیز میگویند چون حروف a,b,c و d در ریاضیات تا آن زمان به کررات استفاده شده بود، اولر از e برای نمایش این عدد استفاده کرد. هر دلیلی داشت به هر حال امروزه اغلب این عدد را با نام Euler می شناسند.


اولر هنگامی که روی برخی مسائل مالی در زمینه بهره مرکب در حال کار بود به عدد e علاقه پیدا کرد. در واقع او دریافت که در مباحث بهره مرکب، حد بهره به سمت عددی متناسب (یا مساوی در شرایط خاص) با عدد e میل میکند. بعنوان مثال اگر شما 1 میلیون تومان با نرخ بهره 100 درصد در سال بصورت مرکب و مداوم سرمایه گذاری کنید در پایان سال به رقمی حدود 2.71828 میلون تومان خواهید رسید.


در واقع در رابطه بهره مرکب داریم :



P = C (1 + r/n) nt


که در آن P مقدار نهایی سرمایه و بهره است، C مقدار اولیه سرمایه گذاری شده،r نرخ بهره، n تعداد دفعاتی است که در سال به سرمایه بهره تعلق می گیرد و t تعداد سالهایی است که سرمایه گذاری می شود.


در این رابطه اگر n به سمت بی نهایت میل کند - حالت بهره مرکب - فرمول را می توان بصورت زیر ساده کرد :



P = C e rt


اولر همچنین برای محاسبه عدد e سری زیر را پیشنهاد داد :



e = 1+ 1/2 + 1/(2 x 3) + 1/(2 x 3 x 4) + 1/(2 x 3 x 4 x 5) + . . .


لازم است ذکر شود که اولر علاقه زیادی به استفاده از نمادهای ریاضی داشت و ریاضیات امروز علاوه بر عدد e در ارتباط با مواردی مانند i در بحث اعداد مختلط، f در بحث توابع و بسیاری دیگر نمادها مدیون بدعت های اولر است.


به نقل از دنیای پی سی




برچسب ها : تاریخ ریاضیات , عدد e , لگاریتم , لئونارد اولر , باهوشترین , Euler , ریاضی دانان , Euler's Mechanica , بهره مرکب , دنیای پی سی , بحث توابع , بدعت های اولر , عدد e پایه لگاریتم طبیعی , عمومی , فارسی , آموزشی , تحقیقات دانش آموزی , خواندنی های ریاضی ,
دنبالک ها : گروه ریاضی ,
 

محاسبه عدد پی

محاسبه عدد پی کمی بیش از دو قرن است که نسبت طول محیط دایره را به قطر آن ،با نشانهπ می شناسند. این نشانه حرف اول یک کلمه یونانی به معنای محیط است.





برچسب ها : ارشمیدس , عدد پی , محیط دایره , ریاضیدان انگلیسی , « لیونارد اولر» کتاب «آنالیز» , عدد π , سازندگان همرم ها , حسابگرهای الکترونی , ریاضیدان آلمانی , معادله جبری , محاسبه عدد پی , عمومی , فارسی , آموزشی , تحقیقات دانش آموزی ,
دنبالک ها : گروه ریاضی ,
 

نظریه ها و قاعده های ریاضی، با کشف خود «هستی» پیدا می کنند، آن ها تنها وجود دارند و اغلب بدون کاربردند. دیر یا زود، و گاهی بعد از صدها و هزارها سال، این موجودات ریاضی به «صفت» تبدیل می شوند و کاربرد خود را در زندگی و عمل، در سایر دانش ها، در صنعت و هنر پیدا می کنند.«اویلر» 


                                                               ¼br>                          ¼br>  شاید ۳۸۰ سال پیش کسی فکر نمی کرد لگاریتمی که در رابطه با نیاز محاسبات عملی کشف شد در آینده کاربردهای وسیعی پیدا کند.
شاید هیچوقت کپلر فکر نمی کرد که جدول هایی را که برای ساده  کردن محاسبات طولانی در تعیین مدار مریخ و یا کارهای اخترشناسی دیگرش تنظیم کرد، جرقه ای این چنین را در ریاضیات ایجاد کند.
یا شاید لاپلاسی که گفت: “لگاریتم طول زندگی اخترشناسان را چند برابر کرد” نمی دانست که نه تنها طول زندگی اخترشناسان بلکه دریانوردان، بازرگانان، موسیقیدانان، شیمیدانان، ریاضیدانان، زمین شناسان و حتی همه ی انسان های کره ی زمین را چند برابر کرد.
بدیهی است که تا نیاز به چیزی احساس نشود آن چیز کشف و اختراع نمی گردد، در واقع هرکدام از علومی که با آن روبه رو هستیم هریک به مقتضای نیازی و با توجه به هدف خاصی پیکر بندی شده اند.
لگاریتم نیز با توجه به محاسبه های طولانی و ملال آوری که دانشمندان سده های شانزدهم و هفدهم میلادی با آن سر و کار داشتند، بوجود آمد. این محاسبه ها وقت و نیروی زیادی را از دانشمندان تلف می کرد و همیشه دانشمندان در ذهن داشتند که چطور می شود بدون انجام چنین محاسبات پیچیده و دشواری و آن هم در کمترین زمان ممکن به جواب مطلوب دست یابند. گفته می شود که حتی در قرن هشتم هندی ها با محاسبات مربوط به لگاریتم آشنایی داشتند اما این کلمه و مفهوم مربوط می شود به قرن شانزدهم .جدول هایی نیز در این زمینه بوجود آمد و شاید همین تلاش ها و نیازها بود که سر انجام به کشف لگاریتم انجامید تا آن جا که دو دانشمند به طور همزمان و بدون اینکه از کار یکدیگر آگاه باشند موفق به کسب چنین افتخاری گشتند اولی جان نپر و دیگری بورگی.
اما اصطلاح لگاریتم نشات گرفته از فعالیت های نپر است که از واژه ی یونانی «لوگوس» به معنی نسبت و «ارتیوس» به معنی عدد گرفته شده است. او همچنین بجای لگاریتم از اصطلاح عدد ساختگی نیز استفاده می کرد. نپر چکیده ی کارهای خود را در کتابی با عنوان «شرح جدول های عجیب لگاریتمی» چاپ کرد و به دنیا نمایاند.

عدد e (مبنای لگاریتم طبیعی) نیز در چنین سال هایی چشم به جهان و جهانیان گشود. گفته می شود کاشف عددe  آن گونه که برخی می پندارنداویلر نبوده است بلکه خود نپر بحث مربوط به لگاریتم طبیعی و عدد e را در یکی از نوشته هایش پیش کشیده است.
بعد از آشکار شدن لگاریتم به جهانیان ابزارهایی برای آسانتر کردن محاسبات لگاریتمی کشف شد که از آن جمله می توان به خط کش لگاریتمی ساخته ی گونتر انگلیسی اشاره نمود. امروزه نیز با استفاده از ماشین حساب و با فشردن یک کلید میتوان عمل لگاریتم گرفتن را به آسانی و سرعت انجام داد.
با ورود لگاریتم به دنیای ریاضیات و آشنا شدن مردم و دانشمندان با آن، این شاخه کاربردهای زیادی را در زندگی روزمره پیدا کرد. چنانکه امروزه لگاریتم در حسابداری و در تعیین بهره ی مرکب و نیز مسائل مالی کاربرد فراوانی یافته است. همان زمان که لگاریتم اختراع شده بود اویلر رابطه ی بین عدد e  و بهره ی مرکب را دریافت و فهمید که حد بهره به سمت عددی متناسب (یا مساوی در شرایط خاص) ، که همان عدد e است میل می کند. همچنین از لگاریتم در مدلسازی و بازار یابی سهمی استفاده می شود. مدلسازی ایجاد الگو و تمثیلی برای تجسم واقعیت های خارجی است که در مسائل مربوط به ریاضیات و حسابداری کاربرد دارد.




برچسب ها : نظریه ها و قاعده های ریاضی , موجودات ریاضی , «اویلر» , محاسبات عملی , کپلر , لگاریتم , اخترشناسی , شیمیدانان , ریاضیدانان , دانشمندان , کشف لگاریتم , عدد e , لگاریتم طبیعی , دنیای ریاضیات , حسابداری , مدلسازی , حد , لگاریتم و كاربردهای آن در زندگی- بخش اول , عمومی , فارسی , آموزشی , تحقیقات دانشجویی , خواندنی های ریاضی ,
دنبالک ها : گروه ریاضی ,
 

 

اتحادها بسیار زیاد هستند اما چند اتحاد اصلی که پایه‌ی اتحادهای دیگر هستند بدین قرارند:

مربع دو جمله ای

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\,\\!
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \\,\\!

مربع سه جمله‌ای

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \\,\\!

مکعب مجموع دو جمله

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \\,\\!

مزدوج

(a-b)(a+b)=a^2-b^2 \\,\\!

اتحاد جمله مشترک

(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab \\,\\!

 مجموع و تفاضل مکعبات دوجمله

(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3 \\,\\!
(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 \\,\\!

 

 اویلر(اولر)

(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=a^3+b^3+c^3-3abc \\,\\!

 اتحاد لاگرانژ

(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2 \\,\\!

نیوتونی

(a+b)^n=\\binom{n}{0}a^nb^0+\\binom{n}{1}a^{n-1}b^1+\\dots+\\binom{n}{n}a^0b^n




برچسب ها : آموزش اتحادها , فرمولهای اتحادها , اتحادها , مربع دو جمله ای , مربع سه جمله‌ای , مکعب مجموع دو جمله , مزدوج , اتحاد جمله مشترک , مجموع و تفاضل مکعبات دوجمله , اویلر(اولر) , اتحاد لاگرانژ , نیوتونی , آموزش اتحادها - فرمولهای اتحادها , عمومی , خواندنی های ریاضی , تحقیقات دانشجویی , آموزشی , فارسی ,
دنبالک ها : گروه ریاضی ,
 
 

وساط اضلاع یک مربع به ضلع a را به هم وصل می کنیم

تا مربع جدیدی حاصل شود.

 سپس اوساط اضلاع مربع جدید را به هم وصل می کنیم تا مربع دیگری حاصل شود.

عمل فوق را تا بی نهایت ادامه می دهیم.

 به نظر شما حاصل جمع مساحت این مربع ها را می توان حساب کرد؟

 حاصل جمع محیط این مربع ها را چطور؟

 


 


برای اینکه به این پرسش جواب دهیم ابتدا سری به مبحث تصاعدهای هندسی می زنیم!

 

تعریف: تصاعد هندسی رشته ای است که هر جمله آن

با ضرب کردن جمله پیش از آن در عددی ثابت مخالف با یک، به دست آید.

عدد ثابت مـذکور را قدر نسبت تصاعد هندسی می نامیم.

 و معمولاً آن را با q نمایش می دهیم.

... و 162 و 54 و 18 و 6 و 2

در این رشته پنج جمله ابتدایی تصاعد را می بینیم،

 برای به دست آوردن قدر نسبت کافی است

 هر جمله را بر جمله ماقبل خود تقسیم کنیم.

(هرعدد را بر عدد ماقبل خود تقسیم میکنیم).

و برای بدست آوردن مثلاً جمله هشتم، باید جمله هفتم را

 در قدر نسبت که در اینجا 3 است ضرب کنیم.

در تصاعدها جمله ابتدایی یا آغازین نیز دارای اهمیت بسزایی است

که آنرا با

 نشان می دهیم.

 

در بالا سعی کردیم که تمام جملات را بر حسب

فقط قدر نسبت و جمله اول بدست آوریم که بر حسب استقراء داریم:

مثلاً برای تصاعد نمونه ایی که در بالا مطرح شد داریم:

حال می خواهیم حاصل جمع جملات تصاعد هندسی را بدست آوریم.

 برای این منظور تصاعد هندسی متناهی را که دارای n جمله باشد، در نظر می گیریم

و جمله اول آن را

و جمله n ام آن را

و قدر نسبت آن را q می نامیم

و حاصل جمع را

  می نامیم.

دو طرف تساوی فوق را در q ضرب می کنیم.

برای مثال حاصل جمع ده جمله نخستین تصاعد نمونه ای

 که در صفحه قبل مطرح شده را به دست آورید.

اگر قدر نسبت q مابین 1 و 1- باشد،

می توان از

   به ازای مقادیر بسیار بزرگ n چشم پوشی کرد. 

پس فرمول فوق برابر

 می شود.


مسئله: مطلوب است محاسبه حاصل جمع زیر:

جواب:

* حال به مسئله اصلی خود برمی گردیم .

مربعی به ضلع a مفروض است،

اوساط آن را به هم وصل می کنیم،

 در مثلث قائم الزاویه AMN  با توجه به رابطه فیثاغورث می توان نوشت:

یعنی اگر طول ضلع مربع مادر a باشد.

یعنی اگر طول ضلع مربع مادر a باشد.

طول ضلع مربع درونـی با تقسیـم طول مربع مادر بر 2√ به دست می آید.

برای یافتن طول ضلع مربع درون،

 دوباره به همان شیوه فوق عمل می کنیم.

 یعنی رابطه فیثاغورث را می نویسیم.

( البته دانش آموزان تیزهوش دیگر نیاز به این کار ندارند،

 بلکه می گویند طول ضلع مربع درون هر مربع

طول ضلع مربع بیرونی است. )

یعنی طول اضلاع این مربع ها از قرار زیر است:

یعنی طول ضلع هر مربع برابر

در طول ضلع مربع بلاواسط بزرگتر از خود است

 که طول ضلع این مربع ها خود تشکیل یک تصاعد هندسی را می دهد.

اما مسئله از ما حاصل جمع مساحت ها

و حاصل جمع محیط های این مربع ها را خواسته است.

اگر مساحت مربع اول را با

 و محیط آن را با

نمایش دهیم داریم:

اگر مساحت و محیط مربع دوم را با

نمایش دهیم، داریم:

و همین طور الی آخر.

حال تصاعد مساحت ها را می نویسیم:

الآن می خواهیم که مساحت این مربع ها را با هم جمع کنیم.

در این تصاعد

است . درنتیجه:




برچسب ها : آموزش تصاعد هندسی , تا بی نهایت , مبحث تصاعد , تعریف: تصاعد هندسی , قدر نسبت , نسبت تصاعد , متناهی , مسئله: , مثلث قائم الزاویه , دانش آموزان تیزهوش , رابطه فیثاغورث , دانش آموزان , عمومی , فارسی , آموزشی , تحقیقات دانش آموزی , خواندنی های ریاضی ,
دنبالک ها : گروه ریاضی ,
صفحات سایت: [ ... ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]

آرشیو ماهانه

نظر سنجی

کدام یک از موضوعات مطالب بیشتر برای شما مفید است ؟


آمار بازید

کل بازدید ها :
بازدید امروز :
بازدید دیروز :
بازدید این ماه :
بازدید ماه قبل :
تعداد نویسندگان :
تعداد کل مطالب :
آخرین بروز رسانی :

درباره ما


معلم ریاضی کسی است که بتواند فکر خود را به فراگیران منتقل کند

ایجاد کننده وبلاگ : مولوی

ثبت سفارش ترجمه | لوگوی دوستان |

math خونه

باشگاه معلمان جوان ایران

| تبلیغات | ........ ....... ثبت سفارش ترجمه ........

 
http://up.rstp.ir/images/70584493750950679405.gif
شبکه اجتماعی فارسی کلوب | Buy Website Traffic | Buy Targeted Website Traffic